Wielomianem nazywamy sumę algebraiczną jednomianów. Jednomian uważamy za szczególny przypadek wielomianu. Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych, i tak wielomian $3x+2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych $x$ i $y$, a wielomian $3x^2+2x+1$ będzie wielomianem jednej zmiennej $x$. Przykłady wielomianów $3x^2+2x+1$) $x^2-2xy$ $ax^2+bx+c$ Stopień wielomianu to najwyższy ze stopni jednomianów wchodzących w jego skład. Wielomian $3+4-1$ jest stopnia zerowego. Wielomian $2a+3$ jest stopnia pierwszego. Wielomian $3x^2+2x+1$ jest stopnia drugiego. Wielomian $3a^2+b^2+2ab+1$ jest stopnia drugiego. Wielomian $-x^3-1$ jest stopnia trzeciego. Wielomianem stopnia $n$ jednej zmiennej $x$ to wyrażenie postaci $a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0$. Symbole $a_i$ to współczynniki liczbowe wielomianu, zakłada się przy tym, że $a_n \neq 0$. To założenie jest istotne, gdyż gwarantuje, że wielomian jest stopnia $n$. Każdy wielomian jednej zmiennej $x$ wyznacza funkcję $y = W(x)$, której dziedziną i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych. Wielomiany takie oznaczamy przez $W(x), P(x)$. Wielomiany jednej zmiennej to szczególny rodzaj wielomianów, z którymi często mamy do czynienia. Przykłady wielomianów jednej zmiennej $3x^2+2x+1$ (współczynniki wielomianu: $3, 2, 1$) $2x^4-1$ (współczynniki wielomianu: $2, -1$) $x^3-2x^2-x+2$ (współczynniki wielomianu: $1, -2, -1, 2$) $a+a^2+a^3+a^4+a^5$ (współczynniki wielomianu: $1, 1, 1, 1, 1$) Wielomian jest uporządkowany, gdy jego składniki uporządkowane są malejąco ze względu na wykładniki potęg. Wielomian uporządkowany składający się z dwóch wyrazów nazywamy dwumianem, a wielomian uporządkowany składający się z trzech wyrazów nazywamy trójmianem. Przykłady uporządkowanych wielomianów $2x^2+1$ (dwumian) $x^2+2x+1$ (trójmian) $x^4-2x^2-x+3$ Wielomian $W(x)=0$ nazywamy wielomianem zerowym i przyjmujemy, że nie ma określonego stopnia. Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach. Zmieniając znaki wszystkich jednomianów tworzących wielomian na przeciwne otrzymujemy wielomian do niego przeciwny. Dla każdego wielomianu $W(x)$, wielomian $-W(x) = (-1) \cdot W(x)$ jest przeciwny do $W(x)$. Suma $W(x) + (-W(x))$ jest wielomianem zerowym. Działania na wielomianach jednej zmiennej Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów nie sprawia większych trudności i w wyniku tych działań zawsze otrzymujemy wielomian. Działania na wielomianach podlegają znanym prawom. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie wielomianów są łączne i przemienne. Zachodzi również prawo rozdzielności mnożenia wielomianów względem ich dodawania. Suma i różnica wielomianów Iloczyn wielomianów Iloraz wielomianów Schemat Hornera Pierwiastki wielomianu Równania wielomianowe Rozkład wielomianu na czynniki
Example: f(x) = (8x 3 + 2x 2 − 5x + 1)/(2x 3 + 15x + 2) The degrees are equal (both have a degree of 3) Just look at the leading coefficients of each polynomial: Top is 8 (from 8x 3) Bottom is 2 (from 2x 3) So there is a Horizontal Asymptote at 8/2 = 4
oAIzH.